Янош Больяи (Больяй, Бояи, Бойай, венг. Bolyai János) родилcя 15 декабря 1802 г. в городе Коложваре, в венгерской Трансильвании (ныне Клуж-Напока, Румыния).
Его отец Фаркаш (по немецки Вольфганг) Больяи (1775-1856), был крупным учёным, профессором математики, физики и химии, а мать, Сюзанна фон Аркош, была дочерью хирурга.
Больяи происходили из обедневшего, но древнего мадьярского рода; в XIV—XVIII веках им принадлежал укреплённый родовой замок, в котором и родился Фаркаш. Отец лично руководил занятиями своего сына.
Янош был одарённым ребёнком. Уже в четыре года он имел понятие о круге, о синусе. В шесть лет он считался одарённым скрипачом, а в десять лет он уже имел свои собственные музыкальные композиции.